Równania wielomianowe czwartego stopnia w liczbach zespolonych

Przy rozwiązywaniu równań wielomianowych zespolonych stosujemy generalnie te same metody, co w rozwiązywaniu równań wielomianowych rzeczywistych w szkole średniej.

Dotyczy to także równań zespolonych 4 stopnia sprowadzalnych do równań stopnia 2, czyli takich, w których mamy niewiadomą do 4 potęgi, niewiadomą do 2 potęgi i wyraz wolny, na przykład:

z^4+5z^2+1=0

albo:

2z^4-5z^2+10=0

Tego typu równania zespolone sprowadzamy do równań zespolonych stopnia drugiego poprzez podstawienie z^2=t , gdzie jest oczywiście niewiadomą zespoloną.

Przykład

z^4-3z^2+4=0

Podstawiamy z^2=t (oczywiście z^4=(z^2)^2 ), otrzymamy więc:

t^2-3t+4=0

A to równanie rozwiązujmy więc już normalnie deltą (oczywiście pierwiastki z liczb ujemnych w liczbach zespolonych istnieją). Dostaniemy dwa rozwiązania zespolone:

$t_1=3/2-{sqrt{7}}/2i$

$t_2=3/2+{sqrt{7}}/2i$

Skoro podstawiliśmy: z^2=t , mamy:

$z^2=3/2-{sqrt{7}}/2i$

lub:

$z^2=3/2+{sqrt{7}}/2i$

czyli:

z=sqrt{3/2-{sqrt{7}}/2i}

lub:

z=sqrt{3/2+{sqrt{7}}/2i}

Po policzeniu pierwiastków (oczywiście wyjdą cztery pierwiastki zespolone) będziemy mieli cztery rozwiązania:

$z_1={sqrt{7}}/2+1/2i$

$z_2=-{sqrt{7}}/2+1/2i$

$z_3={sqrt{7}}/2-1/2i$

$z_4=-{sqrt{7}}/2-1/2i$

Komentarze

Dz napisał:

10 maja 2011 o 10:47

Dzięki! Bardzo dobrze wytłumaczone, a wspomnij jeszcze tutaj o wzorze:
pierwiastki:
cz. rzeczywista: -b/2a
cz. urojona: [sqrt(delta)*i] / 2a

i sqrt(delta) = i sqrt(4ac – b^2)

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał:
  
  10 maja 2011 o 16:05
  
  Dzięki, ale nie znam tego wzoru:) Na co on? Na pierwiastki równania wielomianowego 4go stopnia sprowadzalne do drugiego? Mógłbyś podrzucić jakiś przykład, jak on działa?
  
  Odpowiedz
Mariusz napisał:

11 marca 2012 o 01:18

@Krystian moze przydaloby sie przypomniec / dac odnosniki do tematow ktore uzytkownik powinien sobie przyswoic
poczawszy od wzorow skroconego mnozenie przeksztalcania rownan
dokonywania zamiany zmiennych ,twierdzenia Bezout, wzorow Viete
do podstawowych wiadomosci o liczbach zespolonych ,rownan drugiego i trzeciego stopnia

Rownanie czwartego stopnia mozna zapisac w postaci

(x^2+ax+b)(x^2-ax+c)=x^4+px^2+qx+r

Po wymnozeniu trojmianow i porownaniu wspolczynnikow
dostajemy uklad rownan ktory mozna sprowadzic do rownania trzeciego stopnia

Rownanie czwartego stopnia mozna tez zapisac w postaci

(x^2+b_1x+b_0)^2-p(x-c_0)^2=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0

Po wymnozeniu i porownaniu wspolczynnikow takze dostajemy rownanie trzeciego stopnia

Rownanie czwartego stopnia mozemy zapisac w postaci roznicy kwadratow tez w ten sposob
grupujemy rownanie w dwa nawiasy pomiedzy ktorymi stawiamy zmak minus
w pierwszym nawiasie umieszczamy wyrazy z x^4 oraz z x^3 a w drugim trojmian kwadratowy
uzupelniamy wyrazenie w pierwszym nawiasie do kwadratu dodajac do wyrazen w obu nawiasach odpowiedni wyraz zgodnie ze wzorem skroconego mnozenia na kwadrat sumy/roznicyponiewaz w drugim nawiasie jest trojmian kwadratowy wiec bedzie kwadratem gdy jego wyroznik bedzie rowny zero
aby ustalic kiedy wyroznik trojmianu bedzie rowny zero trzeba wprowadzic nowa zmienna (gdybysmy od razu liczyli wyroznik trojmianu to mogloby sie okazac ze nie jest on zerowy )
wprowadzamy nowa zmienna tak aby wyrazenie w pierwszym nawiasie nadal bylo kwadratem (znowu dodajemy do wyrazen w obu nawiasach odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skroconego mnozenia na kwadrat sumy)
po przyrownaniu wyroznika trojmianu do zera otrzymujemy
rownanie trzeciego stopnia wzgledem wprowadzonej zmiennej
rozwiazujemy rownanie trzeciego stopnia i wybieramy jeden pierwiastek
i wstawiamy go do rownania czwartego stopnia
teraz gdy rownanie czwartego stopnia przybralo postac roznicy kwadratow
korzystamy ze wzoru skroconego mnozenia na roznice kwadratow
i otrzymujemy iloczyn dwoch trojmianow kwadratowych

Rownania czwartego stopnia nie trzeba rozkladac na czynniki kwadratowe
poniewaz dziala na nie takze pomysl na rownanie trzeciego stopnia

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał:
  
  16 marca 2012 o 22:55
  
  Mariusz, dzięki za bardzo wartościowego posta.
  
  Rownanie czwartego stopnia mozna zapisac w postaci
  
  Po wymnozeniu trojmianow i porownaniu wspolczynnikow
  dostajemy uklad rownan ktory mozna sprowadzic do rownania trzeciego stopnia
  
  Jesteś pewien, że w tym układzie równań skończy się na trzecim stopniu równania? Bo mi coś tak nie bardzo wychodzi. Nie chciało by Ci się rozpisać to np. na jakimś przykładzie, zrobić foto kartki z obliczeniami i np. przesłać mi na maila (bo tyle obliczeń kodowanych w stylu: x^2 to straszna mordęga)?
  
  Odpowiedz
Mariusz napisał:

7 maja 2012 o 00:31

Przykłady

http://imageshack.us/f/16/39707028.gif/

http://imageshack.us/f/542/55533892.gif/

Odpowiedz
Mariusz napisał:

7 maja 2012 o 02:57

Jeszcze słówko o równaniach trzeciego stopnia

Równanie trzeciego stopnia można rozwiązać sprowadzając je odpowiednimi podstawieniami do równania kwadratowego
Można też po wyeliminowaniu wyrazu x^2 odpowiednim podstawieniem skojarzyć postać równania ze wzorem na sinus bądź cosinus kąta potrojonego

Podstawienie

$x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}$

sprowadza równanie do postaci

$y^3+py+q=0$

Teraz mamy do wyboru kilka podstawień

$y=u+v$

Po tym podstawieniu dostajemy równanie które można łatwo przekształcić w układ równań
który będzie przypominał wzory Viete równania kwadratowego
Gdy równanie kwadratowe ma zespolone pierwiastki (casus irreducibilis) korzystamy ze wzoru de Moivre
i wyrażamy pierwiastki za pomocą funkcji trygonometrycznych

$y=u-\frac{p}{3u}$

Tutaj równanie kwadratowe otrzymujemy prawie zaraz po podstawieniu , trzeba jednak uważać na zerowe pierwiastki równania kwadratowego

$y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{\theta}$

Tutaj sprowadzamy równanie do równania które przypomina wzór na cosinus kąta potrojonego

Odpowiedz

Równania wielomianowe czwartego stopnia w liczbach zespolonych

Przykład

Komentarze

Co myślisz? Anuluj pisanie odpowiedzi