Całka Oznaczona 1 (demo)

Przykładowy fragment Lekcji 1 z Kursu (prosta całka oznaczona):

Do obliczenia całki oznaczonej z prezentacji potrzebne Tobie będą:

Wzory na całki nieoznaczone

Korzystanie z materiałów wymaga instalacji darmowego odtwarzacza plików Flash w wersji 9 lub nowszej
Flash Player

Nie mam nic przeciwko, abyś wysłał link do tego filmiku znajomemu, umieścił go na swojej stronie internetowej, dodał do internetowego forum, lub serwisu społecznościowego.

TRANSKRYPCJA prezentacji (UWAGA: Transkrypcja NIE JEST częścią materiałów Kursu)

Mamy całkę oznaczoną od minus jeden do trzech z takiej funkcji: po dx:

Oznaczoną – są granice całkowania (oczywiście nikt nie powidział, że te granice muszą być dodatnie, może być jedna ujemna).  Co się robi? Urywa się liczenie całki tej oznaczonej:

- trzy kropki bo będę później wracał do tego. I na boku liczę to: - czyli liczę taką zwykłą całką nieoznaczoną, zwykłą tą całkę jakie się liczyło do tej pory, przed całkami oznaczonymi.

Jak tu należy działać?

Przypominam sobie z własności całek nieoznaczonych, że całkę z dodawania można było rozbić na dwie całki (czyli całka z pierwszego będzie: plus całka z drugiego:  - oczywiście do obu dopisuję dx):

Całka z x kwadrat dx z elementarnego i chyba najczęściej wykorzystywanego wzoru na całki, który masz we wzorach na całki, jej wynik to będzie jedna trzecia x do trzeciej. Pozwoliłem sobie tu od razu to policzyć. To n we wzorze: równe jest w tym przypadku dwa, a tam gdzie jest dwa plus jeden to będzie trzy i tutaj: będzie też n plus jeden, czyli trzy. Czyli całka z x kwadrat dx będzie jedna trzecia x do trzeciej z elementarnego wzoru na całki.

Plus całka z dx-sa jest też z elementarnego wzoru plus x i dopisuję jeszcze plus C:

I to jest wynik całki nieoznaczonej. Mogę go podkreślić. Tak?

Teraz się wracam do trzech kropek:

I w ten wynik: będę musiał wstawić dwie liczby, trójkę i minus jedynkę. Żeby to jakoś estetycznie wyglądało to się bierze tak robi (równa się pisze, bierze się nawias kwadratowy – będę tak robił, w nawias kwadratowy wpisuję ten wynik: pomijając  stałą C, ta stała i tak tam się zredukuje, nawet gdyby ją tu: wrzucić, czyli ją pomijamy, tak?, pionowa kreska, górna granica całkowania do góry, czyli trójka, dolna do dołu, czyli jedynka):

I teraz w ten nawias kwadratowy wpisuję najpierw trójkę, a później minus i wpisuję dolną granicę całkowania minus jedynkę. Najpierw trójkę za x-sa, czyli będzie jedna trzecia, później za x-sa idzie trójka, czyli trzy do trzeciej, plus trzy, prawda? Za x-sa wrzuciłem górną granicę całkowania, czyli trójkę:

Później minus (zawsze tu jest minus, uwaga, zawsze minus, z twierdzenia Newton’a-Leibnitz’a):

Otwieram znowu nawias i teraz w miejsce x-sa wstawiam dolną granicę całkowania, czyli minus jeden. Czyli będzie jedna trzecia, za x-sa wstawiam minus jeden do trzeciej plus, tu już minus jeden zapisałem, za x-sa minus jeden trzeba wstawić, od razu pyknąłem minus jeden. No i w ten sposób tutaj:

…mam liczbę, tylko będę musiał ją pozamiatać do końca.

No to tak, trzy do trzeciej to jest dwadzieścia siedem, plus trzy przepisałem:

Minus, przepisałem nawias kwadratowy, minus jeden do trzeciej to jest minus jeden, minus jeden będę miał coś takiego, prawda?:

Trzy i dwadzieścia siedem się skraca na trzy, tak? Czyli tu będzie dziewięć plus trzy w tym pierwszym nawiasie:

A w drugim minus, jedna trzecia razy minus jeden to jest minus jedna trzecia i minus jeden.

Ruszam dalej (dziewięć plus trzy to jest dwanaście, ten nawias kwadratowy już pominąłem, a tutaj: – co zrobiłem? Z tym minusem wjechałem jakby w nawias, czyli zmieniłem znaki w nawiasie, minus i minus dał plus, czyli plus jedna trzecia, minus i minus daje plus czyli plus jeden):

Dwanaście plus jedna trzecia plus jeden – z podstawówki – trzynaście i jedna trzecia. Dwanaście plus jeden trzynaście i plus jedna trzecia.

Powtórzmy jeszcze raz króciutko, co trzeba zrobić, żeby rozwiązać całkę oznaczoną, czyli taką z granicami całkowania. Urwać ją, najpierw policzyć zwykłą nieoznaczoną, policzyć, policzyć, policzyć. To nie zawsze będzie takie prościutkie jak tutaj. A później do wyniku tej nieoznaczonej wstawić dwie liczby w taki sposób: ten wynik wziąść w nawias kwadratowy, wstawić do niego dwie liczby, policzyć jeszcze na końcu te liczby i wychodzimy zawsze na jakąś liczbę.

Wynikiem całki oznaczonej jest zawsze – liczba. Co ona oznacza, no to tam później sobie powiemy w następnych lekcjach, ale tu się zadowolimy samym wynikiem.

Bardzo proste, prawda?