Aktualnie w koszyku
Twój koszyk jest pusty
Całka Oznaczona 2 (demo)
Przykładowy fragment Lekcji 1 z Kursu (wykorzystanie metody przez podstawienie):
Do obliczenia całki nieoznaczonej z prezentacji potrzebne Tobie będą:
Podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych
Korzystanie z materiałów wymaga instalacji darmowego odtwarzacza plików Flash w wersji 9 lub nowszej
Flash Player
Nie mam nic przeciwko, abyś wysłał link do tego filmiku znajomemu, umieścił go na swojej stronie internetowej, dodał do internetowego forum, lub serwisu społecznościowego.
TRANSKRYPCJA prezentacji (UWAGA: Transkrypcja NIE JEST częścią materiałów Kursu)
Mamy całkę oznaczoną:
Urywamy ją:
Liczymy pod spodem nieoznaczoną:
Przypomnimy sobie jak się robiło przez podstawienie. Brało się takie tutaj te pionowe kreski:
Część związków x-sa z tej funkcji: 
zastępowało się zmienną t i ogólnie dążyło się do tego, aby wszystkie x-sy stąd: zamienić zmienną t. Za t brało się jakiś związek, tu będzie dogodnie sinusx plus trzy:
Jeżeli pamiętasz mój Kurs Całek Nieoznaczonych, to nie było tu żadnych sztywnych reguł. Potrzeba było trochę praktyki, żeby się w tym wyrobić. Dobra. Za sinusx plus trzy bierzemy t, czyli tutaj: to: 
byśmy zastąpili – t. Co nam zostało do zastąpienia ze związków x-sa? cosinusx dx.
Później braliśmy tak:
dt równa się. Braliśmy pochodnę tego: . Pochodna tego: 
to cosinus x, pochodna z trójki to jest zero, czyli plus zero, czyli tylko cosinusx. I do tej pochodnej tego:, którą zapisaliśmy tutaj:
dopisywaliśmy dx:
I patrzylismy, czy podstawienie jest dobre, to znaczy, czy można wszystkie x-sy zastąpić tymi tutaj: 
związkami. Można. Za cosinusxdx pójdzie dt, czyli wszystkie x-sy zniknęły. Na jaką całkę wyjdę? Na taką:
dt można było na górze: 
, a można było jeden przez – pierwiastek zostanie – pod pierwiastkiem będzie t no i na końcu dt: 
. Prawda? Na górze dt, albo z boku dt. Czyli wyszedłem na taką całkę, która jest dana przy pomocy zmiennej t. Pierwiastek z t to jest to samo, co t do jednej drugiej:
Jeden przez t do jednej drugiej to jest to samo, co t do minus jednej drugiej:
i wyszedłem na elementarny wzór na całkę: 
– najczęściej wykorzystywany. Nasze n to jest tym razem minus jedna druga. Czyli wynik tej całki to będzie coś takiego:
Minus jedna druga plus jeden to jest jedna druga. Mam nadzieję, że tutaj wiesz, skąd to się wzięło. Minus jedna druga plus jeden jedna druga:
Jeden przez jedna druga to jest dwa. Dwa t do jednej drugiej plus C:
Czyli dwa pierwiastek z t plus C:
Prawda? Pamiętamy o zasadzie maksymalnego cofania się, czyli cofania się z potęg na pierwiastki też. No i na samym końcu zadania wracaliśmy się z podstawieniem (dwa i za t podstawiamy, czyli mamy dwa pierwastek sinusx plus trzy plus C):
Podkreślamy.
Dobra. Wracamy się do całki oznaczonej, tu do trzech kropek (w nawias kwadratowy wstawiam wynik mojej całki nieoznaczonej pomijając stałą C, granice całkowania, zero, pi drugich, a pi drugich to jest normalna liczba tutaj). Aha, jeszcze: uważaj, żeby nie wpaść w taką – jeżeli nie za bardzo się pewnie czujesz tutaj na tym gruncie analizy matematycznej albo matematyki w ogóle – uważaj żeby nie wpaść w taki odruch typowy początkującego, tak? Że widzi jakieś sinusy, że widzi jakiś kosinusy w całce, jeszcze jakiś pi drugich i zaczynają się już wtedy ręce trząść, tak? Panika przed zrobieniem zadania, dwa plus trzy już wychodzi sześć, nic już w ogóle nie wychodzi, w ogóle się nie myśli, najprostsze rzeczy sprawiają problem, bo już od razu jest w głowie od samego początku zadania, że tego nie zrobię. Te całki będą proste na ogół, nikt Ci nie chce krzywdy zrobić, jak często powtarzam, tak? Pi drugich to jest normalna liczba, podstawowa wartość w tabelce funkcji trygonometrycznych. Skoro pi to jest trzy czternaście z hakiem – wiadomo – bo to jest niewymierna, no to na dwa to też będzie jeden pięćdziesiąt siedem z hakiem. To jest normalna liczba, tak ją traktujemy. Dobra. Dlatego ją tutaj wrzucamy:
Wrzucam do tego nawiasu kwadratowego najpierw górną granicę całkowania, czyli za x-sa wstawiam pi drugich, minus, zawsze minus jest, dolną i za x-sa wstawiam zero:
Dalej. Sinus pi drugich odczytuję z tabelki podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych, że to jest jeden i tutaj wpisałem jeden (w miejsce tego sinusa):
Przydała się tabelka podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych. Sinus pi drugich to jest jeden. Minus. Sinus zera z tej samej tabelki to jest zero, czyli tu wpisałem zero:
No i dalej. Jeden plus trzy to cztery. Zero plus trzy to trzy:
Dobrze jest to sobie robić powoli, tak? Ja często tu będę ścinał, a Ty właśnie zwalczaj te ścinanie. Rozpisuj sobie to normalnie. Rób tak: jeden plus trzy – cztery i pisz powoli cztery. Nie że w głowie od razy liczysz pierwiastek, od razu przemnażasz przez dwójkę i jeszcze od razu Bóg wie co robisz. Powolutku sobie to rozpisuj, bez pośpiechu. Łatwo się pomylić, łatwo, w tych rachunkach na liczbach. Tu zwracam Ci uwagę właśnie, że ten etap sprzątania liczb, jak już wstawisz liczby, często ludzie tu się odprężają na nim, bo myślą, że: “No już tyle zrobiłem, że to już są szczegóły”. No nie są szczegóły. Podwójna czujność, podwójną czujność od razu włączasz, tak? I powoli rozpisuj.
Pierwiastek z czterech to jest dwa, dwa razy dwa to cztery, tak? Minus dwa pierwiastki z trzech, z tym się nic nie zdziała.
Podkreślam wynik i znowu nie wyszedł nam jakiś ładny, okrągły, typu: siedem, albo jeden. Cztery minus dwa pierwiastki z trzech.
Podkreslam dwa razy. Dobrze jest kilka razy podkreślić ten wynik ostateczny, bo tu po drodze jeszcze podkreślałem ten pośredni, tak? No to żeby odróżnić, że to już jest koniec no to podkreślamy kilka razy Panu profesorowi, żeby się przyjemnie sprawdzało.