Całka Oznaczona 3 (demo)

Przykładowy fragment Lekcji 1 z Kursu (z wykorzystanie metody przez części):

Do obliczenia całki oznaczonej z prezentacji potrzebne Tobie będą:

Wzory na całki nieoznaczone

Wzory na pochodne funkcji

Wzory na logarytmy i granice

Korzystanie z materiałów wymaga instalacji darmowego odtwarzacza plików Flash w wersji 9 lub nowszej
Flash Player

Nie mam nic przeciwko, abyś wysłał link do tego filmiku znajomemu, umieścił go na swojej stronie internetowej, dodał do internetowego forum, lub serwisu społecznościowego.

TRANSKRYPCJA prezentacji (UWAGA: Transkrypcja NIE JEST częścią materiałów Kursu)

Trzy kropki:

Liczę po staremu całkę nieoznaczoną:

Zobacz – wszystko właściwie po staremu się robi to co w nieoznaczonych. Jeszcze raz to powtórzę. A samo liczenie całki oznaczonej to jest malutki jeden dodatek do całki nieoznaczonej – że wstawiasz dwie liczby do wyniku. Tak? A tak to po staremu wszystko – przez części, podstawienie, wymierne, wszystko robisz po staremu to co się robiło w nieoznaczonych.

Dobra. Jak się robiło przez części? Robiło się taką tutaj…hmm…takie szersze pole sobie wydzielałeś:

Brałeś sobie coś za u i coś za v prim:

Tym razem nie tak sobie dowolnie jak przez podstawienie, tylko te u przemnożone przez v prim musiało dawać funkcję podcałkową. No to tu się narzuca, że do jednego koszyczka wrzucę x, a do drugiego lnx, i wrzucę tak, że tu wrzucę lnx, a tu x-sa:

Czemu tak? Bo z tego: się liczyło pochodną dalej, a z tego: się liczyło całkę dalej, no i całkę z lnx-sa – mimo tego, że powinna wyglądać na prostą – nie ma, nie ma – przepraszam – w podstawowych wzorach na całki, ogólnie to jest oczywiście. Przez części się liczy nawiasem mówiąc. Natomiast całkę z x-sa bezproblemowo policzę, dlatego to wymusiło taki wybór. Tu: lnx, a tu: x idzie. To: razy to: pomnożone z powrotem da tą: funkcję podcałkową. To są wszystko powtórki czegoś, co powinieneś już wiedzieć.

Pochodna z lnx jeden przez x ze wzorów na pochodne, oczywiście jeżeli założyłem, że powinieneś mieć podstawy całek nieoznaczonych to już nawet nie mówiłem, że powinieneś pochodne umieć w ogóle. Nie ma dyskusji. To powienieś umieć. Pociecha taka, że, no… tu nie będą jakieś szczególnie trudne pochodne.

Całkę z x-sa, zapisywało się tak: , odczytujemy z podstawowego wzoru na całki, to jest jedna druga x kwadrat. Z tego pochodną: z tego całkę: :

No i później cóż się robiło?

Mnożyło się najpierw to: razy to . Pisało bez znaku całki i od razu już porządkowało, że tak powiem, kolejność. No nie, dokładnie kolejność w tym wyrażeniu. Najpierw idzie liczba, potem potęga, a na końcu wyrażenie z argumentem, czyli lnx, sinx, tego typu rzeczy idą na koniec. Dlatego tu tak zostało coś takiego (przy mnożeniu tego: razy to: ):

Później szedł minus – to bardzo ważne – z definicji i całka to: razy to: :

Minus całka to: razy to: . To: się zauważ w ogóle nie bawi. W pierwszym kroku to: razy to: . W drugim całka to: razy to: . Tu: kolejności nie porzadkowałem. Zaraz uporządkuję.

To: już przepisuję ten ogon, będzie się wlekło do końca zadania ta pierwsza część zadania.

Jedna druga przed znak całki, prawda?

A tu: x i x kwadrat się skróci na krzyż i zostanie xdx.

No i całka z xdx, powtórnie wykorzystuje elementarny, to już przepisuję: a tu: wykorzystuję elementarny wzór na całki. Całka z x dx to jest jedna druga x kwadrat.

Porządki. Jedna druga razy jedna druga to jest jedna czwarta x kwadrat:

Podkreślam. To jest wynik całki nieoznaczonej.

Teraz się wracam do tych granic całkowania:

e no to znowu pamiętamy, no nie wiem już czy ze średniej, bo tak się program szybko zmienia, że nie wiem, czy to w średniej miałeś w ogóle… No, to jest stała matematyczna – e. Bardzo ważna. To jest pewna stała. No, ciężko to tak wymierzyć. Może tak samo ważna jak liczba pi. W każdym razie e to jest jakaś liczba, równa w przybliżeniu 2,7 do pierwszego miejsca po przecinku. Czyli trochę mniejsza od pi. No i to jest liczba. Traktujesz ją normalnie jak liczbę. No to wrzucamy. Najpierw za x-sa – pamiętamy – górna granica całkowania, czyli będzie coś takiego:

Minus dolna granica całkowania za x-sa, czyli będzie coś takiego:

Tu przydadzą się nam takie niby te, na takiej ściądze, malutkiej karteczce, wartości logarytmu. Logarytm naturalny z e, odczytujemy z nich, to jest 1. Czyli tu będzie jedna druga e kwadrat razy jeden, jedna druga e kwadrat minus jedna czwarta e kwadrat, czyli tak:

Nawias kwadratowy – zwróć uwagę – ten: jest niepotrzebny, bo nic przed nim nie stoi. Jest tak jakby plus: . Czyli można go pominąć. Ja go piszę tak dla porządku. Żeby było tak graficznie czytelnie, żeby było widać, że wstawiam to: , a później wstawiam to: . Tak naprawdę ten nawias – ten pierwszy – kwadratowy jest niepotrzebny. A ten drugi: już jest potrzebny. A czemu już ten: drugi jest potrzebny? Bo przed nim jest minus. Ten minus tu wpływa na całość – to co jest w nawiasie. Czyli ten drugi jest potrzebny, tak normalnie.

Dobra, tu sobie pozwoliłem tak od razu policzyć w główce. Logarytm naturalny z jeden z tej takiej mini ściągawki, to jest zero, czyli ten cały składnik: to jest zero, prawda? Bo jak coś zero, to coś razy zero to jest zero. Jeden do kwadratu to jest jeden, minus jedna czwarta razy jeden – minus jedna czwarta:

Jedna druga e do kwadratu minus jedna czwarta e do kwadratu to jest jedna czwarta e do kwadratu, bo jedna druga czegoś, minus jedna czwarta czegoś to są dwie czwarte minus jedna czwarta to jest jedna czwarta. Czy jakkolwiek to można zrozumieć, w każdym razie pół minus jedna czwarta to jest jedna czwarta, a tu: minus i minus to jest oczywiście plus jedna czwarta.

I podkreślam. Znowu mam wynik w takiej krzywej postaci. Ale to jest znowu jakaś konkretna liczba. Gdyby za e sobie wziąźć jakieś tam 2,7 z hakiem, bo wiadomo, że to jest niewymierna, razy jedna czwarta, plus jedna czwarta, bysmy doszli do jakiegoś wyniku. Tak? Nie przyzwyczajamy się tutaj do okrągłych liczb. Wychodzi coś takiego: i to jest liczba i to jest dobrze.