Dzielenie liczb zespolonych (demo)

Przykładowy fragment Lekcji 1 z Kursu (dzielenie liczb zespolonych):

Korzystanie z materiałów wymaga instalacji darmowego odtwarzacza plików Flash w wersji 9 lub nowszej
Flash Player

Nie mam nic przeciwko, abyś wysłał link do tego filmiku znajomemu, umieścił go na swojej stronie internetowej, dodał do internetowego forum, lub serwisu społecznościowego.

TRANSKRYPCJA prezentacji (UWAGA: Transkrypcja NIE JEST częścią materiałów Kursu)

Do tej pory liczyliśmy właściwie wszystko to samo, co w szkole średniej. Zwykłe działania na wyrażeniach algebraicznych. Plus tam i do trzeciej trzeba było policzyć. A teraz troszeczkę nowe będzie, choć proste.

Dzielenie liczb zespolonych.

W dzieleniu liczb zespolonych mnożymy przez sprzężenie mianownika. Już tłumaczę, co to jest sprzężenie. Przez liczbę sprzężoną do mianownika bardziej w zespolonych by się powiedziało formalnie. Jeżeli mamy liczbę zespoloną w postaci: , czyli w postaci kartezjańskiej liczba zespolona to jest taka: , to liczba sprzężona do niej, oznaczamy taką kreską nad z-em, to jest: . Czyli w sprzężeniu zmieniamy znak w części urojonej. Jak było plus b, to tu zmieniamy na minus ib.

Liczbę zespoloną, od razu sobie powiedzmy, się często oznacza taką małą literką z: z=a+ib. Takie tam oznaczenie. Tak jak tam niewiadomą to był ‘x’ w rzeczywistych, to tutaj często w zespolonych niewiadomą będzie ‘z’.

No i liczba sprzężona do takiej: , pamiętamy, że trzeba zmienić znak w części urojonej, czyli będzie to . Znak przy a zostawiamy taki sam, zmieniamy tylko znak “pomiędzy nimi” w kartezjańskiej, czyli znak przy części urojonej.

No i teraz tak, robimy taki manewr w szkole średniej, kiedy pozbywało się niewymierności z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik tej liczby: przez sprzężenie mianownika: . Mianownika zawsze. Czyli sprzężenie mianownika tutaj to będzie: -, bo zmieniamy znak w części urojonej.:

No to mnożymy te dwie liczby. Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik:

Jeżeli chodzi o górę to trzeba będzie to po prostu przemnożyć. Jeżeli chodzi o dół, to można zauważyć, że to jest wzór skróconego mnożenia, że coś plus coś razy coś minus coś. Ale jak ktoś nie jest taki spostrzegawczy, to może normalnie ręcznie to policzyć, tak ja to tu zrobiłem:

No dobra, zacznijmy od góry, skąd się wzięła góra. – wszystko przez wszystko. Cztery razy minus trzy minus dwanaście, cztery razy minus dwa i minus osiem i, minus siedem i razy minus trzy to jest plus dwadzieścia jeden i, minus siedem i razy minus dwa i to jest plus czternaście i kwadrat.

Jeżeli chodzi o dół, też zrobiłem wszystko przez wszystko. Minus trzy razy minus trzy to jest plus dziewięć, minus trzy razy minus dwa i to jest plus sześć i, plus dwa i razy minus trzy to jest minus sześć i i plus dwa i razy minus dwa i to jest minus cztery i kwadrat.

Na górze porządkuję. Minus dwanaście na razy przepisałem, minus osiem i plus dwadzieścia jeden i to jest plus trzynaście i, czternaście razy minus jeden (bo i kwadrat to jest minus jeden). Jeżeli chodzi o dół, to te sześć i tutaj się skróciło:  ,czyli dziewięć, minus cztery razy minus jeden, czyli dziewięć plus cztery.

Przepraszam za takie słownictwo, “skróciło”… Może to jakoś ładniej można powiedzieć, może “zredukowało”… No mniejsza z tym. W każdym razie sześć i i minus sześć i to jest zero. A tutaj: uwaga, jeszcze raz sobie powtórzmy, i kwadrat to jest minus jeden, czyli minus cztery razy minus jeden to jest plus cztery. Czyli dziewięć plus cztery tutaj zapisałem. No to jest plus cztery, słowem.

No i dalej. Dodaję wyrazy podobne tutaj. Minus dwanaście minus czternaście to jest minus dwadzieścia sześć, plus trzynaście i, przez dziewięć plus cztery to jest trzynaście:

Ale to jeszcze nie jest wynik, uwaga! Przecież w wyniku powinienem mieć jakąś ładną liczbę zespoloną. Która ma część rzeczywistą, część urojoną. A tutaj – gdzie? Tu jest jakaś jedna liczba przez drugą podzielona. Dlatego należy zawsze w dzieleniu ten ułamek sobie rozbić na końcu. A jak rozbić? Zapisać ten ułamek jako to: -26 przez to: 13 dodać to: 13 przez to: 13.

Czyli minus dwadzieścia sześć trzynastych, dodać trzynaście i trzynastych. Jakby się chciało z powrotem wrzucić z tego przejścia na to, no bez problemu, bo jest wspólny mianownik i można z powrotem coś takiego napisać: .

I teraz minus dwadzieścia sześć i trzynaście daje minus dwa, i trzynaście na trzynaście to jest tak po prostu i:

I to jest wynik. Ta liczba: 4- 7i podzielić przez tą: daje: -3 +2i . Tu z tego rozbicia wcale nie jest powiedziane, że muszą wyjść sobie takie okrągłe liczby: minus dwa i jeden. Jakby tu: było na przykład jakieś jedynaście, to by już wyszło jakieś dwadzieścia sześć jedynastych, trzynaście jedynastych. I tak należy robić. I tak byś to musiał zostawić. To by była taka liczba, normalna zespolona. Dwadzieścia sześć jedynastych, plus trzynaście jedynastych. Też mogą być takie liczby.

Ale ważne, żeby w dzieleniu na końcu było wyodrębnione, gdzie jest część rzeczywista, gdzie jest… a właśnie, jaka jest część urojona tej: -2+i  liczby? Nie: ‘i’. sobie powiedzieliśmy, ‘i’ to nie jest część urojona. ‘I’ to jest to, co stoi przy części urojonej. Jeżeli tu: nic nie ma przy ‘i’, to w domyśle jest liczba jeden. Czyli część urojona tej liczby to jest jeden. Ta liczba: -2+i z definicji by wyglądała tak: (-2,1).